Gli operatori

Son sempre rimasto affascinato dal concetto fisico di “operatore”, dove il nome sta effettivamente ad indicare (già dai tempi del tardo latino [operator -oris]) colui che opera, “colui che agisce”, colui che compie determinate operazioni o determinate azioni. Naturalmente ogni operazione/azione implica dei cambiamenti per cui un operatore è una “entità” in grado di modificare lo stato (delle cose o della realtà).

Per essere un po’ più scientifici possiamo definire un operatore come una “applicazione” che riceve qualcosa (in input) e restituisce qualcosa (in output). Chiamando “stato iniziale” (delle cose) quel “qualcosa ricevuto in input” e “stato finale” (delle cose) quel “qualcosa restituito in output” possiamo generalizzare il concetto di operatore affermando che: “un operatore è una applicazione in grado di trasformare uno stato iniziale in uno stato finale”.

Un banale esempio di operatore è l’operatore “addizione” il cui simbolo è “+” che è in grado di trasformare uno stato iniziale costituito da due o più numeri chiamati “addendi” in uno stato finale costituito da un numero chiamato “somma”; naturalmente affinchè sia valida l’affermazione testè enunciata – oltre a indicare dettagliamente tutta la sequenza di operazioni che l’operatore deve svolgere –  occorre specificare tutta una serie di regole del gioco come ad esempio occorre:

  • che gli stati iniziale e finale siano entrambi rispettivamente contenuti nell’insieme di elementi sui quali l’operatore opera (viene applicato) e tali stati non devono contenere elementi estranei(1)
  • definire una regola generale che consenta all’operatore di effettuare l’operazione qualunque siano gli elementi appartenenti allo stato iniziale e allo stato finale
  • che l’operazione non venga perturbata da effetti di disturbo estranei in grado di modificare l’esito dell’operazione
  • ecc.

Poi ogni operatore avrà proprietà particolari; in particolare l’operatore addizione gode di molte proprietà come ad esempio:

  • è commutativo
  • è associativo (e dissociativo)
  • se ad un numero in input si aggiunge un elemento neutro chiamato “zero” e indicato con il simbolo “0” lo stato iniziale non cambia (cioè lo stato finale coincide con lo stato iniziale)

Facciamo ora un altro esempio di operatore chiamato “operazione chirurgica” (OC) e costituito da un insieme di elementi essenziali all’effettuazione dell’operazione quali:

  • il chirurgo (C)
  • l’anestesista (A)
  • la sua equipe (E)
  • la sala operatoria (SO)
  • tutti gli altri accessori necessari ad effettuare l’operazione

Per semplificare la descrizione trascuriamo per un momento gli aspetti quantitativi e qualitativi(2) (come ad esempio la bravura del chirurgo, l’adeguatezza della sala operatoria, il grado di igiene dei locali, l’adeguatezza degli accessori, ecc.) e concentriamoci solo sull’aspetto booleano (il chirurgo c’è/non c’è, l’anestesista c’è/non c’è, ecc.).

L’operatore OC è costituito da elementi e/o sottoinsiemi da sommare booleanamente fra loro cioè, affinchè l’operazione possa avvenire è necessario che: (OC =1) solo se (C = 1) and (A = 1) and (E = 1) and (SO = 1) ……

Attenzione ho scritto “solo se” (simbolo ⇒) e non “se e solo se” (simbolo ⇔) in quanto:

  • se non ci sono tutti gli elementi essenziali per effettuare l’operazione, OC non è in grado di operare

mentre

  • possono esserci tutti gli elementi essenziali per effettuare l’operazione anche senza che OC operi per forza

In questo esempio lo stato iniziale è costituito dal paziente malato (PM) e lo stato finale dal paziente guarito (PG).

Anche nel caso dell’operatore OC valgono regole del gioco da rispettare simili a quelle sopra menzionate, ma anche altre non citate in precedenza inerenti le operazioni possibili fra operatori quali ad esempio:

  • la somma di OC1 + OC2 : significa che vengono operati due pazienti diversi oppure che lo stesso paziente subisce due operazioni;
  • ecc.

Nel caso particolare in cui lo stesso paziente subisca due volte la stessa operazione abbiamo OC x OC = OC2.

Ci sono naturalmente differenze di comportamento fra l’operatore “addizione” e l’operatore OC: ad esempio mentre il risultato dell’operazione “addizione” è certa (algoritmica), l’operazione OC non è certa (aleatoria) in quanto (continuando nella semplificazione booleana) l’esito dell’operazione può portare lo stato finale a “guarito” come anche lasciare il paziente nello stato iniziale “malato” cioè può lasciare lo stato inalterato come peraltro farebbe l’operatore “addizione” nel caso particolare in cui operasse con l’elemento neutro “zero”(3).   

Si potrebbe andare avanti a oltranza con considerazioni di questo tipo e si arriverebbe a concludere che è possibile applicare tutti gli stessi ragionamenti e teoremi che si applicano sugli operatori logico/matematici a qualunque tipo di operatore (compresi gli operatori ecologici, quelli di borsa, quelli quantistici, ecc.).

Voglio però concentrare la mia attenzione sull’operatore “ritardo” (U(4)) che consiste nel lasciare lo stato iniziale “in attesa” per un certo lasso di tempo ∆t. Dopo questa attesa lo stato riprende ad evolvere apparentemente senza alcun tipo di conseguenza. Ebbene, il fatto che non abbia conseguenze è quasi sempre falso; pensiamo ad esempio ad una catena di montaggio: in un caso come questo l’applicazione dell’operatore U ha molteplici conseguenze dirette ed indirette come ad esempio perdita di produttività, sfasamenti sull’intero ciclo di produzione, ecc. Non sto dunque parlando di qualcosa di astratto ma di un operatore maledettamente concreto realizzabile ad esempio aggiungendo un operatore chiamato “temporizzatore” nel listato di programma del PLC che comanda e controlla la catena di montaggio !!

L’operatore U è applicabile in tutti gli ambiti possibili e immaginabili (in realtà anche in quelli inimmaginabili) come la nostra vita quotidiana, i mezzi pubblici, ecc.; in qualsiasi ambito concreto in cui agisce genera effetti tangibili.  

Oltre al temporizzatore (timer), altri esempi di operatore U sono i guasti, gli incidenti, alcune tecniche di meditazione trascendentale, gli aumenti di velocità, ecc.

Torino, 21/01/2023

Gianfranco Pellegrini

NOTE

(1) Non tutti gli operatori hanno questa proprietà (che si chiama “chiusura”); ad esempio l’operatore “prodotto vettoriale” PV (non a caso anche chiamato “prodotto esterno”) contrariamente al “prodotto scalare” (non a caso anche chiamato “prodotto interno”)  produce uno stato finale esterno allo stato iniziale; facendo il semplice esempio dello spazio R2 (geometricamente rappresentabile dal piano cartesiano XY), l’operatore PV trasforma elementi dello spazio iniziale R2 in elementi dello spazio spazio R3 esterni allo spazio R2 (seppur R2 sia contenuto in R3).

(2) Nel caso in cui si volessero tenere in conto anche questi aspetti occorre identificare per ogni elemento essenziale una scala di valori quantitativa e/o qualitativa e dare un valore a ciascun elemento.  

(3) Anche in questo caso, una analisi meno semplicistica porta ad identificare una scala di valori che consenta di dare un punteggio al grado di bontà dell’intervento.  

(4) Lo ho chiamato U perché in meccanica quantistica viene indicato con questo simbolo; in questo ambito ricopre un ruolo importantissimo perché è legato all’energia del sistema. Non mi dilungo oltre in questa sede perché svilupperò questo tema in modo dettagliato in un prossimo articolo dedicato alle leggi di conservazione e alle simmetrie in meccanica quantistica, nonché alle relazioni esistenti fra:

–             inversione/riflessione, operatore P, coefficiente δ, e parità

–             rotazione, operatore R(ϑ), coefficiente m e spin     

–             traslazione spaziale, operatore D(r), coefficiente k e impulso

–             traslazione temporale, operatore U(τ), coefficiente ω ed energia  

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