Interazioni intermolecolari nell’elio

L’esistenza della fase condensata nell’acqua dimostra inequivocabilmente che esistono forze intermolecolari di tipo attrattivo fra le molecole stesse e di tipo repulsivo che si oppongono alla compressione delle molecole fra loro; in particolare le forze attrattive dipendono dalle interazioni coulombiane tra le particelle elementari in gioco e dalla polarizzazione delle molecole d’acqua.

Come abbiamo avuto modo di descrivere dettagliatamente in articoli precedenti(1) ciascun atomo di idrogeno costituente la molecola d’acqua ha una elettronegatività pari a circa 0,2 mentre l’atomo di ossigeno ce l’ha pari a -0,4; ciò determina una polarizzazione molto elevata che da origine ai cosiddetti legami a idrogeno. A questi scambi energetici si sommano quelli dovuti all’agitazione termica che a temperatura ambiente risultano particolarmente rilevanti.

Oltre a questi fenomeni di natura elettrostatica e di natura termodinamica, nell’acqua si manifestano interazioni di natura elettromagnetica che danno luogo a oscillazioni coerenti. Purtroppo gli scambi energetici fra la radiazione elettromagnetica e le molecole d’acqua sono di entità nettamente inferiore rispetto a quelli di natura elettrostatica e di natura termodinamica e dunque vengono sovrastati da questi ultimi. D’altro canto, risulta sperimentalmente impossibile separare gli effetti di ogni singola tipologia di interazione e dunque non si riesce a far emergere gli effetti dovuti alle sole interazioni elettromagnetiche

Tuttavia, dal punto di vista delle interazioni elettromagnetiche, considerazioni teoriche portano ad una analogia di comportamento fra l’acqua è l’isotopo 2 dell’elio quindi, studiare l’HE2 ci può dare informazioni utili anche sull’acqua. L’elio, essendo un gas nobile, non manifesta interazioni intermolecolari di tipo elettrostatico ma risente dell’agitazione termica dunque, per poter ridurre questi effetti che disturberebbero l’analisi, occorre ridurla il più possibile. Da qui la necessità di effettuare la sperimentazione a temperature vicinissime allo zero assoluto.

Il grande premio nobel per la fisica  Pyotr Leonidovich Kapitza nel 1937 ha pubblicato un articolo(2) in cui descrive una serie di proprietà dell’elio a temperature al disotto del punto λ, fra cui la superfluidità.  

Lo scienziato americano Tisza(3) tenta senza successo di interpretare il fenomeno della superfluidità considerando l’elio un bosone degenere in quanto a queste temperature l’elio si trova allo stato il liquido e dunque non può di certo essere considerato un gas ideale, ma soprattutto agli atomi non eccitati non può essere impedito di entrare in collisione con quelli eccitati il cui attrito generato impedisce l’emergenza di fenomeni di superfluidità.

Finalmente nel 1941 lo scienziato russo Lev Davidovich Landau(4) giustifica il fenomeno della superfluidità ipotizzando che il “movimento potenziale” (Rot v = 0) abbia un livello energetico quantistico inferiore a tutti i livelli di “movimento vorticoso” (Rot v ≠ 0) e questa ipotesi si dimostra consistente(5).

Ciò significa che la condizione Rot v = 0 si conserva, ossia che un liquido quantistico possiede stati stazionari di “movimento potenziale” mentre non esistono stati stazionari di “movimento vorticoso” (Rot v ≠ 0); in altri termini, nel liquido quantistico non esiste transizione continua fra stati di movimento potenziale e vorticoso. Perciò, tra il più basso livello del movimento potenziale e di quello vorticoso deve esistere un certo intervallo energetico non nullo(6). Anche se non è logicamente possibile indicare quale dei livelli sia quello più basso fra i due, l’ipotesi che il livello corrispondente al movimento potenziale sia più basso dell’inizio dello spettro relativo al movimento vorticoso porta a giustificare il fenomeno della superfluidità. Landau giustifica la superfluidità dell’elio liquido a temperature inferiori al punto λ proprio ipotizzando che si verifichi questo caso.

Ogni stato debolmente eccitato deve essere considerato come una combinazione di eccitazioni elementari e, nel caso del movimento interno potenziale, tali eccitazioni altro non sono che quanti di onde (sonore) longitudinali chiamate fononi.

In analogia ai fononi, le eccitazioni elementari dello spettro vorticoso possono essere chiamati rotoni ed hanno un’energia funzione quadratica del momento(7).

Se la densità di fononi e rotoni non è troppo elevato(8), l’insieme che ne risulta può essere considerato alla stregua di un miscuglio di due gas ideali.

Il gas fononico obbedisce alla statistica di Bose e dunque, nel caso in cui kT<<∆,  si può applicare la distribuzione di Boltzmann.

In definitiva la capacità termica dell’elio II può essere suddivisa in una parte fononica proporzionale a T4 ed una parte rotonica proporzionale a e-∆/kT. In effetti a temperature inferiori a 1°K si sperimenta un effetto fononico predominante sul valore della capacità termica(9).

Allo zero assoluto l’elio si trova in una condizione di normale stato non eccitato.; se la velocità del flusso non è troppo grande quando scorre attraverso un capillare, l’interazione tra l’elio e le pareti del capillare non può portare ad un’eccitazione di moto interno (cioè a una dissipazione di energia) e dunque il liquido avrà viscosità nulla(10).

A temperature superiori allo zero assoluto si ha un certo numero di fononi e rotoni. Se consideriamo l’elio, da un calcolo statistico risulta che in un recipiente rotante si stabilisce un equilibrio statistico diverso da quello che si stabilisce in un recipiente fermo; ciò perché il gas di rotoni e fononi ruota con il vaso come se fosse “trasportato” dalle sue pareti.

Se le pareti del recipiente sono in moto, solo una parte dell’elio viene trasportata dalla loro rotazione, mentre la restante parte rimane stazionaria. Dunque, in queste condizioni, potremmo considerare l’elio liquido come costituito da un miscuglio di due liquidi di cui uno “normale” e l’altro (superfluido) avente viscosità zero e non trasportato dalle pareti del recipiente. L’interazione fra questi due “fluidi” non genera attrito fra loro(11). Mentre parlare di due fluidi è una semplificazione esplicativa che non rappresenta la realtà fisica, le condizioni di moto sono invece effettivamente due: normale e superfluido.

Al variare della temperatura la densità dell’elio è data dalla somma della “densità normale” e della “densità superfluida”: a T = 0 la “densità normale” è nulla e cresce al crescere della temperatura fino al punto λ oltre il quale la “densità superfluida” si annulla e la densità diventa tutta “normale”(12).  La parte superfluida non trasporta calore quindi, in condizioni di totale superfluidità si ha la reversibilità termodinamica. Ad esempio nel caso di elio che attraversa una fessura molto stretta il fluido che scorre attraverso alla fessura è tutto superfluido e dunque senza attrito(13).

Riguardo al riscaldamento del liquido nel recipiente al fluire dell’elio nel capillare stretto le formule sono quelle ricavate da Londona partire da quanto proposto da Tisza e confermano appieno gli esperimenti di Kapitza(14). In un capillare il flusso di calore dall’estremo più caldo a quello più freddo dovuto alla parte “normale” si sommo al flusso di “calore negativo” dall’estremo più freddo a quello più caldo dando luogo ad un trasferimento di calore assai elevato.

Dal punto di vista idrodinamico si possono considerare due distinte velocità: quella normale vn e quella superfluida vs (con Rot vs =0)(15).

L’utilizzo delle equazioni descritte in questo articolo portano a due differenti valori della velocità del suono per l’elio II u1 = ∂p/∂ρ e u2 = (Ts2ρs/Cρn)1/2 ; per T à λ u2 à 0, mentre per T à 0 u1 à c e u2 à √3.

Torino 17 aprile 2021

Gianfranco Pellegrini

Note

1) Vedi l’articolo “La chimica semplice applicata all’acqua”.

2) P. L. Kapitza, Nature 141, 74 (1937), USSR 18, 28 (1938)

3) L. Tisza, Nature 141, 913 (1938)

4) USSR 60, (1941)

5) I calcoli effettuati da Landau conducono alle seguenti regole di commutazione:

Da queste formule emerge che Rot v commuta con ρ e v e dunque anche con l’Hamiltoniana esclusivamente quando è nullo su tutto il volume occupato dal liquido.

6) E’ importante sottolineare che i livelli energetici di cui stiamo parlando non sono quelli del singolo atomo di elio, bensì quelli del liquido nel suo insieme.

7)  

  (μ è la massa effettiva del rotone e l’energia è misurata a partire dallo stato normale del liquido).

8) Cioè se la temperatura del liquido è sufficientemente bassa.

9) W. H. Keesom & A. P. Keesom, Physica 2, 557 (1935)

10) A causa del gap energetico esistente nello spettro, i rotoni possono essere eccitati solo se            v > (2∆/μ)1/2 e i fononi solo se v > c (ciò a causa della dipendenza lineare della loro energia dal momento).

11) Cioè alcun momento fra un fluido e l’altro.

12) Chiamando ρn e ρs rispettivamente la densità del “fluido normale” e del superfluido, la densità ρ è pari a ρ = ρn + ρs con ρn = 0 a T = 0°K e ρ = ρs a T = λ. Considerando il rapporto fra fononi e rotoni si può scrivere:

.

Questa formula può essere utilizzata anche per calcolare il valore di λ ottenendo λ = 2,30°K rispetto al valore conosciuto che è pari a λ = 2,19°K.

13) Per ottenere questo risultato l’elio in uscita dovrebbe essere a una temperatura inferiore a quella dell’elio II contenuto nel recipiente iniziale (nel caso ideale dovrebbe trovarsi allo zero assoluto).

14) H. London, Proc. Royal Society A171, 484 (1939). P. L. Kapitza, Phys. Rev. 60, 354 (1941).

15) Le formule ricavate da Landau sono valide su superfici rigide in cui vs soddisfa le condizioni al contorno di un liquido ideale e il valore di vn non è troppo elevato.

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